2024南京大学信息学综评题目
原文：洛谷专栏
共 5 道简答题，每题 20 分，共 2 小时。
T1
有一个面积为 $S$ 的正方形和 $n$ 个半径为 $1$ 的圆。这个正方形合法仅当对于其内部任意一个点，以它为圆心、$1$ 为半径作圆，在这 $n$ 个圆中至少有一个圆与这个圆相交或者重合。
证明合法的 $S\le 4\pi n$。
T2
已知
$$x+\frac1x=1,$$
令
$$t=x^{2024}+\frac1{x^{2024}},$$
比较
$$\sqrt[2024]{(2023-t)!}$$
和
$$\sqrt[2023]{(2024+t)!}$$
的大小关系。
T3
$a,b,c,d,x,y,z,w,u$ 均为实数，且 $a,b,c,d$ 已知。
定义一种 $x,y,z,w,u$ 的填法的权值为
$$\sum_{i,j}(i-j)^2,$$
其中 $i,j\in{a,b,c,d,x,y,z,w,u}$，且 $i$ 和 $j$ 之间有边相连。
求权值最小的一组 $x,y,z,w,u$。
T4
有一个定义域在大小为 $m$ 的环上（定义域为 $0,1,\ldots,m-1$）的函数 $u(k)$，满足 $u(k)$ 不全为 $0$，并约定 $u(-1)=u(m-1),u(m)=u(0)$。
定义
$$f(k)=2u(k)-u(k+1)-u(k-1).$$
定义 $a$ 为函数 $u(k)$ 的特征值，当且仅当对于任意 $0\le k<m$，满足
$$f(k)=a\cdot u(k).$$
- 当 $a=0$ 时，求所有满足条件的函数 $u(k)$。
- 求证：对于所有函数 $u(k)$，其特征值 $a$ 在 $[0,4]$ 范围内。
T5
有一个 $n$ 条边的凸多边形，顶点为 $A_1,\ldots,A_n$，其内部有一个点 $P$。定义
$$a_i=\angle PA_iA_{i+1},\qquad A_{n+1}=A_1.$$
求证
$$
\sum_{i=1}^{n}\cot(a_i)
\ge
\sum_{i=1}^{n}\cot(A_i)
+n\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right).
$$